Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
______________/И.А. Соколов /
«___» ________________20___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование дисциплины:
Сеточная аппроксимация дифференциальных операторов
Уровень высшего образования:
бакалавриат
Направление подготовки / специальность:
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (3++)
Направленность (профиль):
Математические и компьютерные методы решения задач естествознания
Форма обучения:
очная

Москва 2023

Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки 01.03.02, 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" программы бакалавриата  Утвержден приказом МГУ от 30 августа 2019 года № 1041 (в редакции приказов МГУ от 11 сентября 2019 года № 1109, от 10 июня 2021 года № 609, от 7 октября 2021 года № 1048, от 21 декабря 2021 года № 1404, от 2 ноября 2022 года № 1299)

1. Дисциплина относится к базовой части ОПОП ВО.

2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля): учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, уравнениям в частных производных и численным методам в объеме, соответствующем программе первых трех лет обучения основных образовательных программ бакалавриата по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников, частично формируемые при реализации дисциплины (модуля):

•	ОПК-1.Б. Способность применять и адаптировать существующие математические и компьютерные методы для разработки и реализации алгоритмов решения актуальных задач в области фундаментальной и прикладной математики.
•	ПК-3.Б. Способность в составе производственного коллектива участвовать в разработке и реализации в современных программных комплексах актуальных алгоритмов компьютерной математики.

Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю):

Знать современные методы аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных. Характерных для задач индустриальной математики, на расчетных сетках с произвольной топологией расчетных ячеек.
Уметь применять на практике и проводить сравнительный анализ рассмотренных численных алгоритмов.
Владеть навыками по решению прикладных научных и практических задач.

4. Формат обучения: лекции проводятся с использованием меловой доски в потоковых аудиториях.

 5. Объем дисциплины (модуля) составляет 2 з.е., в том числе 26 академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 46 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий.
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося, часы	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1. Потоковая форма  уравнений механики сплошных сред в смешанных эйлерово – лагранжевых переменных	
8	
4	
0	
4	
4	
2. Расчетные сетки и структуры хранения сеточных данных.	6	2	0	2	4	
3. Аппроксимация оператора «дивергенция» на произвольных невырожденных расчетных сетках.	6	2	0	2	4	
4. Аппроксимация оператора «градиент».	4	2	0	2	2	
5. Аппроксимация оператора Лапласа. Операторно – разностные схемы для уравнения теплопроводности.	8	4	0	4	4	
6. Операторно – разностные схемы для уравнений газовой динамики в смешанных эйлерово – лагранжевых переменных.	8	4	0	4	4	
7. Разностные схемы для уравнений параболического типа на компактных вычислительных шаблонах.	8	4	0	4	4	
8. Схемы высокой разрешающей способности для систем законов сохранения гиперболического типа.	8	4	0	4	4	
Промежуточная аттестация: экзамен	16	-	-	-	16	
Итого	72	26	0	26	46	

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Вопросы к экзамену.
1.	Смешанные эйлерово – лагранжевы переменные. Потоковая форма основных законов сохранения в смешанных эйлерово – лагранжевых переменных.
2.	Потоквая форма уравнения «конвекции – диффузии». Конвективная и диффузионная составляющие потока.
3.	Потоковая форма уравнений Эйлера. Потоки массы, импульса, кинетической  и полной энергии.
4.	Тензор вязких напряжений и скоростей деформации. Потоковая форма уравнений Навье – Стокса для сжимаемых сред.
5.	Потоковая форма уравнений термоконвекции в приближении Бусинеска. Силы плавучести.
6.	Потоковая форма уравнений многокомпонентной газовой динамики с учетом химических реакций.
7.	Ламинарные и турбулентные течения. Осреднение турбулентных течений по Рейнольдсу. Гипотеза Буссинеска. Модели турбулентности.
8.	Уравнения мелкой воды в однослойном и двухслойном приближении. Уравнения динамики Мирового океана.
9.	Структурированные и блочно – структурированные сетки. Расчетные сетки с четырехугольными ячейками в круге.
10.	Структуры хранения сеточных данных на «неструктурированных» сетках.
11.	Типы расчетных сеток в задачах внешнего обтекания: «H», «C» и «O» сетки. Сетки со смешанной топологией расчетных ячеек.
12.	Методы построения расчетных сеток: вариационный подход, ячейки Дирихле, триангуляция Делоне,  метод движущегося фронта.
13.	Сеточные и проекционно – сеточные методы численного решения уравнений в частных производных. Метод коллокаций. Метод Бубнова – Галеркина. Недостатки проекционно – сеточных методов.
14.	Теорема Остроградского –Гаусса и метод конечного объема. Понятие порядка аппроксимации.  Локальный и интегральный порядки аппроксимации. Аппроксимация дивергенции на двумерных сетках с треугольными ячейками. Дивергенция на двумерных сетках с многогранными ячейками.
15.	Двумерные сетки с четырехугольными ячейками. Локально – гладкие отображения. Свойства якобианов. Аппроксимация якобианов, площадь расчетной ячейки. Второй порядок локальной аппроксимации. Аппроксимация дивергенции в криволинейных системах координат.
16.	Трехмерные сетки с гексагональными ячейками. Дивергентная форма записи якобиана. Аппроксимация вектора нормали к граням ячейки. Площадь грани и объем ячейки. Аппроксимация дивергенции. Представление дивергенции через производные от объема ячейки.
17.	Трехмерные сетки со смешанной топологией расчетных ячеек. Площади граней, определение нормалей к граням и объема расчетных ячеек. Представление дивергенции через производные от объема ячеек.
18.	Гильбертовы пространства. Операторы в гильбертовых пространствах. Дифференциальные операторы, сопряженные по Лагранжу. Оператор градиента в криволинейных координатах.
19.	Сеточные гильбертовы пространства. Сеточный градиент как оператор, сопряженный к сеточной дивергенции. Необходимые и достаточные условия дивергентности сеточного градиента.
20.	Сеточный градиент на двумерной сетке с треугольными ячейками. Связь с методом конечного объема. Сеточный градиент в цилиндрических координатах.
21.	Сеточный градиент на двумерной сетке с четырехугольными ячейками. Аппроксимация. Связь с методом конечного объема.
22.	Сеточный градиент на гексагональных расчетных сетках. Построение контрольного объема.
23.	Суперпозиция сеточных операторов дивергенции и градиента, самосопряженность и неотрицательная определенность сеточного оператора Лапласа. Слабая и сильная аппроксимация. Постановка граничных условий.
24.	Оператор Лапласа на двумерных треугольных сетках. Вычислительный шаблон. Положительная определенность
25.	Оператор Лапласа на двумерных ссеках с четырехугольными ячейками. Вычислительный шаблон. Свойство вырожденности и ядро оператора.
26.	Оператор Лапласа на двумерных сетках со смешанной топологией расчетных ячеек.
27.	Итерационные методы численного решения сеточных аналогов уравнения Пуассона.
28.	Аппроксимация уравнений диффузионного типа с использованием сопряженных сеточных операторов дивергенции и градиента.  Вычислительные шаблоны. Явные и неявные разностные схемы. Схемы с весами.
29.	Устойчивость эволюционных разностных схем. Эвристические приемы нахождения критериев вычислительной устойчивости. Энергетический критерий устойчивости сеточных уравнений параболического типа. Достаточные условия устойчивости операторных разностных схем.
30.	Диференциально – разностные уравнения механики сплошных сред в лагранжевых переменных.  Аппроксимация кинематических связей и уравнения неразрывности.
31.	Пространственная аппроксимация в лагранжевых переменных закона сохранения импульса. Аппроксимация баланса кинетической и удельной внутренней энергии.  Полная консервативность
32.	Расчеты течений с ударными волнами. Искусственная вязкость. Виды искусственной вязкости и проблема нахождения оптимальных значений коэффициентов искусственной вязкости
33.	Дискретизация дифференциально – разностных уравнений по времени. Явные и неявные полностью консервативные разностные схемы и условия их линейной устойчивости.
34.	Проблемы алгоритмической разрешимости неявных полностью консервативных разностных схем для уравнений Эйлера.
35.	Алгоритмы корректировки лагранжевых расчетных сеток. Переход к смешанным эйлерово – лагранжевым переменным. Операторно – разностные схемы в смешанных эйлерово – лагранжевых переменных. Временное расщепление по физическим процессам. Аппроксимация конвективных потоков «вниз по потоку». Дополнительные ограничения на величину допустимого шага по времени
36.	Операторно – разностные схемы для уравнений Навье-Стокса в смешанных эйлерово – лагранжевых  переменных. Вычислительные шаблоны. Явные и неявные аппроксимации по времени. Расщепление по физическим процессам. Условия вычислительной устойчивости.
37.	Недостатки широкошаблонных операторно -  разностных схем при расчетах на суперкомпьютерах с разделенной памятью, актуальность перехода к схемам на компактных вычислительны шаблонах . Вариационная формулировка для диффузионных потоков, функционал Фаворского. 
38.	Аппроксимация уравнения баланса на двумерных сетках с четырехугольными ячейками. Аппроксимация функционала Фаворского. Разностный аналог уравнения для потока. Вычислительные шаблоны.
39.	Явные и неявные разностные схемы со слабой аппроксимацией потоков. Порядок аппроксимации Условия устойчивости. Вычислительные шаблоны и свойства операторов.
40.	Безусловно устойчивые потоковые алгоритмы с пространственным расщеплением на структурированных расчетных сетках.
41.	Разностные схемы для уравнений диффузионного типа  со слабой аппроксимацией потоков на трехмерных расчетных сетках.
42.	Представление сил вязкости в терминах операторов дивергенции и градиента. Граничные условия.
43.	Слабая аппроксимация  вязких потоков. Учет сил вязкости методом расщепления по физическим процессам. Аппроксимация сил вязкости на компактных вычислительных шаблонах.
44.	Простейшее одномерное уравнение переноса. Сеточные аппроксимации простейшего уравнения переноса. Фазовые и амплитудные ошибки. Метод обратной характеристики. Схема Годунова. Схема «крест». Схема Лакса – Вендрофа. Схема Айзерлиса. 
45.	Схемы высокой разрешающей способности. Нелинейная коррекция потоков. Виды ограничителей (лимитеров).
46.	Разностные схемы газовой динамики на основе задачи о распаде произвольного разрыва. Схема Годунова. Схема Колгана. Схема Колгана – Родионова.
47.	Схема КАБАРЕ как схема высокой разрешающей способности. Нелинейная коррекция на основе принципа максимума. Обобщение на многомерное уравнение переноса.
48.	Схема КАБАРЕ для уравнений мелкой воды.
49.	Схема КАБАРЕ для уравнений газовой динамики в одномерном случае. Эйлеровы и смешанные эйлерово – лагранжевы переменные.
50.	КАБАРЕ – аппроксимация уравнений Навье-Стокса в смешанных эйлерово – лагражевых переменных.
51.	Математическое моделирование турбулентных течений  DNS, LES и RANS приближения. Недостатки RANS моделей.
52.	КАБАРЕ – аппроксимация уравнений естественной конвекции в приближении Буссинеска. 

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов, например

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
факультет ВМК	

Наименование дисциплины
СЕТОЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
                                                           Билет N 1.
 1. Смешанные эйлерово – лагранжевы переменные. Потоковая форма основных законов сохранения в смешанных эйлерово – лагранжевых переменных.
 2. Оператор Лапласа на двумерных ссеках с четырехугольными ячейками. Вычислительный шаблон. Свойство вырожденности и ядро оператора

                Зав. кафедрой	

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  
	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
Экзамен	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
Экзамен 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
Экзамен 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

Соответствие результатов обучения и компетенций, в развитии которых участвует дисциплина (модуль)
	
Результаты обучения	Компетенция, с частичным формированием которой связано достижение результата обучения	
 Знать современные методы аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных. Характерных для задач индустриальной математики, на расчетных сетках с произвольной топологией расчетных ячеек 
Уметь применять эти методы на практике и проводить сравнительный анализ рассмотренных численных алгоритмов;. 
Владеть навыками  по решению научных и практических задач.	

ОПК-1.Б	
 Владеть теоретическими и практическими навыками применения актуальных численных методов решения задач и их реализации в виде компьютерных программ.	
ПК-3.Б	
8. Ресурсное обеспечение:
Основная  литература
1.	Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткин И.А. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов. Издательство Московского университета. 2013.
2.	Самарский А. А.,  Колдоба А. В.,  Повещенко Ю. А.,  Тишкин В. Ф.  Фаворский А. П.  Разностные схемы на нерегулярныз сетках.  Минск.  1996.
3.	Бондаренко Ю. А.,  Башуров В. В.,  Янилкин Ю. В.  Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. Препринт 88-2003, Саров 2003.
4.	Марчук Г. И., Агошков В. И.  Введение в проекционно-сеточные методы.  Москва,  Наука,  1981
Дополнительная литература
5.	Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный, Издательский дом Интеллект, 2008
6.	Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под ред. К. И. Бабенко, Москва, Наука. 1979.
7.	В.Б. Андреев Численные методы. Электронная версия. Части 1 и 2. 
8.	А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.
9.	Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. М.:  Наука. 1989. 

Материально-техническкое обеспечение:

аудитория с партами и меловой доской.

9. Язык преподавания − русский.

10. Преподаватели:

профессор факультета ВМК МГУ В.М.Головизнин

11. Авторы программы:

профессор факультета ВМК МГУ В.М.Головизнин