Кафедра математической статистики (МС)

Кафедра математической статистики существует на факультете со дня его создания. Основателем и бессменным заведующим кафедрой с 1970 по 2013 г. был академик Юрий Васильевич Прохоров (1929-2013).
В настоящее время кафедрой заведует профессор доктор физико-математических наук Виктор Юрьевич Королев.
Большую роль в создании и становлении кафедры сыграл член-корреспондент АН СССР Логин Николаевич Большев (1922-1978).
На кафедре работают 10 докторов и 7 кандидатов наук, в том числе профессоры В.Е. Бенинг, В.Н. Колокольцов, В.В. Ульянов, В.Г. Ушаков, Ю.С. Хохлов, И.Г. Шевцова, О.В. Шестаков.
На кафедре исследуются и развиваются математические модели, учитывающие статистические закономерности в случайных явлениях и процессах. Разрабатываются различные вопросы теории вероятностей и математической статистики, имеющие фундаментальное научное и важное практическое значение. Научные направления, развивающиеся на кафедре, охватывают практически весь спектр задач классической теории вероятностей и математической статистики. А именно,
• теорию предельных теорем теории вероятностей;
• асимптотические методы математической статистики;
• теорию случайных процессов;
• статистику случайных процессов;
• теорию массового обслуживания. Наряду с этими классическими областями знаний, в последнее время на кафедре проводятся исследования, связанные с разработкой аналитических методов теории вероятностей и математической статистики, ориентированные на обработку больших массивов данных растущей размерности, а также по таким актуальным направлениям как
• теория риска;
• финансовая математика;
• страховая математика;
• анализ информационных, телекоммуникационных и вычислительных систем;
• стохастическая томография.
На кафедре решаются важные прикладные задачи, связанные с созданием и исследованием математических моделей конкретных сложных систем. В частности, рассматриваются проблемы моделирования климатических процессов, плазменной турбулентности, анализа информационных потоков в сложных высокочастотных инфотелекоммуникационных системах, разработки эффективных методов анализа кардио- и магнитоэнцефалограмм.
Результаты исследований находят применение в физике, медицине, биологии, психологии, финансовой и страховой деятельности, при проектировании систем связи, вычислительных систем и разработке их программного обеспечения. Исследования, проводимые сотрудниками, аспирантами и студентами кафедры, поддерживаются грантами Российского научного фонда, Российского фонда фундаментальных исследований, а также других российских и зарубежных фондов и государственными контрактами. Сотрудники кафедры имеют тесные научные контакты со многими научными центрами, среди которых Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, Математический институт РАН, Институт общей физики РАН, Институт океанологии РАН.
При кафедре работает лаборатория статистического анализа (заведующий – проф. В.Г. Ушаков), основным направлением деятельности которой является разработка программного обеспечения для статистического анализа случайных процессов.
Кафедра поддерживает три магистерские программы:
• «Статистический анализ и прогнозирование рисков» (руководители проф. В.Е. Бенинг и проф. В.Ю. Королев); в рамках этой программы студенты имеют возможность получить специализацию «вычислительные финансы», прослушав дополнительные курсы в области финансовой математики от института «Вега»;
• «Интеллектуальный анализ больших данных» (совместно с кафедрой ИИТ, руководители проф. В.Ю. Королев, проф. И.В. Машечкин и доцент М. И. Петровский);
• «Анализ данных в экономике» (совместно с экономическим факультетом МГУ), руководитель от факультета ВМК – проф. В.Ю. Королев).

Курсы, читаемые сотрудниками кафедры

1. Общефакультетские курсы

Теория вероятностей и математическая статистика, лекторы – профессоры В.Ю. Королев, В.Г. Ушаков, В.В. Ульянов.
Целью этого базового курса является изучение закономерностей случайных явлений и овладение навыками анализа статистических данных. В курсе приводятся общие понятия и аксиоматика теории вероятностей и математической статистики, доказываются основные предельные теоремы теории вероятностей, излагаются основные методы оценивания параметров статистических моделей и проверки статистических гипотез.

Случайные процессы, лектор – профессор Ю.С. Хохлов. В этом курсе для студентов второго потока излагаются основные сведения о построении и анализе математических моделей процессов, развивающихся во времени под воздействием случайных факторов. В процессе изучения этого курса студенты должны освоить основные понятия теории случайных процессов и овладеть основными методами постановки и решения задач средней сложности при анализе реальных ситуаций.

Вероятностные модели, лектор – профессор О.В. Шестаков. Целью курса является изучение принципов выбора математических моделей реальных явлений и процессов, протекающих в условиях стохастической неопределенности. Основной упор делается на описание асимптотических аппроксимаций и энтропийный подход. Значительное внимание уделяется обсуждению условий применимости вероятностных моделей и, в частности, предельных теорем теории вероятностей.

2. Межфакультетские курсы

Вероятностные модели случайных явлений и процессов, лектор – профессор В.Ю. Королев.
Целью курса является ознакомление студентов разных факультетов МГУ с принципами выбора математических моделей реальных явлений и процессов, протекающих в условиях стохастической неопределенности. Значительное внимание уделяется обсуждению условий применимости вероятностных моделей, проблеме математического описания реальных экспериментов и формализации вероятностной модели. Курс включает в себя необходимые сведения из теории вероятностей и примеры построения вероятностных моделей в самых различных областях, включая физику, биологию, медицину и финансовую математику.

3. Кафедральные курсы для бакалавров

Математические основы теории вероятностей, лектор – проф. В.В. Ульянов.
Целью этого курса является изучение основных сведений из теории меры и интегрирования, необходимых в теории вероятностей, а также важнейших вероятностных результатов, более глубоких и сложных, чем те, которые излагаются в базовом курсе «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемом в 3 и 4 семестрах.

Дополнительные главы случайных процессов, лектор – проф. А.В. Борисов.
В курсе изучаются фундаментальные понятия теории случайных процессов в рамках аксиоматического подхода современной теории вероятностей. Рассматривается общая теория и конкретные задачи стохастического анализа и стохастического интегрирования. Особое внимание уделяется конкретным классам случайных процессов: процессам с независимыми приращениями и их важным представителям – пуассоновскому процессу и процессу броуновского движения.

Дополнительные главы математической статистики, лектор – проф. В.Е. Бенинг.
В курсе излагаются фундаментальные разделы современной математической статистики – аксиоматика, понятия достаточности, полноты, эффективности. Подробно рассматривается математическая теория оценивания и проверки статистических гипотез. Обсуждаются обобщения классических результатов на выборки случайного объема. В качестве примера к конкретным прикладным задачам строятся статистические модели процессов деятельности страховых компаний.

Прикладные задачи теории вероятностей, лектор – доцент А.А. Кудрявцев.
Целью курса является изучение принципов применения стохастических моделей в реальной практике. Рассматриваются различные жизненные ситуации, для описания которых наилучшим образом подходят модели, основанные на применении методов теории вероятностей. В качестве основного инструмента исследования применяются понятия, связанные с актуарной математикой и рисковым страхованием. Доказываются фундаментальные утверждения современной теории риска.

4. Кафедральные курсы для магистров

Асимптотические методы математической статистики, лектор – проф. В.Е. Бенинг.
Подробно рассматриваются принципы выбора оптимальных методов математической статистики, ориентированных на обработку больших массивов данных. Основное внимание уделяется асимптотическим методам проверки статистических гипотез.

Анализ риска, лектор – доцент А.А. Кудрявцев.
Излагаются общие методы теории риска, ориентированные на решение конкретных задач анализа и прогнозирования рисковых ситуаций в различных областях.

Современные методы обработки сигналов и изображений, лектор – проф. О.В. Шестаков.
В рамках курса изучается корреляционный анализ временных выборок сигналов, спектральный Фурье-анализ сигналов и изображений, методы вейвлет-анализа, вероятностный анализ временных выборок, статистические подходы к решению обратных задач при реконструкции сигналов и изображений.

Прикладные задачи теории случайных процессов, лектор – проф. К.П. Беляев.
В рамках курса рассматриваются методы теории случайных процессов, ориентированные на решение задач анализа систем массового обслуживания, транспортных и телекоммуникационных систем и сетей.

Прикладной многомерный статистический анализ, лектор – проф. Ю.С. Хохлов.
Излагаются методы обработки многомерных наблюдений: регрессионный, дисперсионный и факторный анализ.

Оценки точности асимптотических вероятностных моделей, лектор – проф. И.Г. Шевцова.
Излагаются принципы оценивания адекватности вероятностных моделей, основанных на асимптотических аппроксимациях. Основное внимание уделено обсуждению оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин.

Анализ временных рядов, лекторы – к.ф.-м.н. А.Н. Дойников и к.ф.-м.н. Л.В. Назаров.
В курсе излагаются основные методы статистического анализа случайных процессов. Существенно используется программная система ЭВРИСТА, предназначенная для анализа временных рядов.

5. Кафедральные курсы для аспирантов

Аналитические методы теории вероятностей, лектор – проф. И.Г. Шевцова.
Основное внимание уделено методу характеристических функций и разработке аппарата для его эффективного использования. Доказываются формулы обращения, неравенства сглаживания и различные оценки характеристических функций. Излагается универсальный метод решения линейных экстремальных задач теории вероятностей, в качестве примера его применения доказываются точные моментные неравенства и оценки характеристических функций.

Асимптотические методы математической статистики, лектор – проф. В.Е. Бенинг.
В рамках курса дается обзор основных методов многомерной статистики, особое внимание уделено многомерному нормальному распределению и его свойствам. Обсуждается применение методов асимптотической статистики в линейном регрессионном анализе, рассматриваются асимптотические свойства оценок метода наименьших квадратов. Приводятся реальные примеры из финансовой и актуарной математики.

Теория вероятностных распределений, лектор – проф. Ю.С. Хохлов.
Рассматриваются свойства конкретных одномерных и многомерных распределений, в частности полиномиальное и его обобщения, многомерное распределение Пуассона, многомерное геометрическое, равномерное, многомерное нормальное, многомерное Стьюдента, распределения Уишарта, Дирихле, многомерное показательное распределение Маршалла—Олкина. Обсуждаются примеры случайных процессов: процесс Пуассона, винеровский, гамма-процесс, процесс Орнштейна—Уленбека. Излагается теория процессов Леви и самоподобных процессов.

Стохастическое исчисление, лектор – проф. В.Н. Колокольцов.
Систематически излагается теория мартингалов и теория стохастического интеграла предсказуемых процессов по непрерывному справа квадратично интегрируемому мартингалу. В частности, рассматриваются особенности стохастического интегрирования по процессу броуновского движения и общие черты стохастических интегралов по процессу броуновского движения и по непрерывному квадратично интегрируемому мартингалу, характеризация непрерывных локальных мартингалов в классе предсказуемых процессов, обобщение представления Дуба-Мейера для субмартингалов.

Вейвлет-анализ и его приложения, лектор – проф. О.В. Шестаков.
Вейвлет-анализ представляет собой удобный математический аппарат, способный решать те задачи, в которых применение традиционного Фурье-анализа оказывается неэффективным. В рамках курса дается обзор основных фактов Фурье-анализа и его возможностей, вводится понятие вейвлетов, кратномасштабного анализа, вейвлет-преобразования и изучаются их свойства. Описывается применение методов вейвлет-анализа, обсуждаются его преимущества при обработке сигналов и изображений, обсуждается применение методов вейвлет-анализа для решения таких задач, как подавление шума и обращение линейных преобразований.

Теория массового обслуживания, лектор – проф. В.Г. Ушаков.
В курсе излагаются основы теории массового обслуживания. Наибольшее внимание уделяется изучению методов, использующих марковское свойство изучаемого случайного процесса: метод вложенных цепей Маркова, метод дополнительных компонент. Излагаются основы теории приоритетных систем массового обслуживания и теории сетей.

На кафедре работают спецсеминары «Теория риска и смежные вопросы» (рук. проф. В.Ю. Королев), «Стохастические модели: асимптотики и приложения» (рук. проф. В.В. Ульянов), «Современные методы обработки сигналов и изображений» (рук. проф. О.В. Шестаков, доц. Т.В. Захарова), «Прикладные вопросы обработки экспериментальных данных» (рук. доц. Т.В. Захарова), «Байесовские модели в теории массового обслуживания и надежности» (рук. доц. А.А. Кудрявцев), «Теория массового обслуживания» (рук. проф. В.Г. Ушаков).